Todas as pessoas do mundo devem saber o nome Albert Einstein. E mesmo que você tenha apenas se envolvido nas conquistas de Einstein, provavelmente conhece a relatividade. Existem duas construções de caso para a relatividade, sendo uma a teoria geral da relatividade e a outra a teoria da relatividade especial. E se eu te dissesse que a matemática que atua como a base da teoria da relatividade especial pode ser facilmente entendida – sim, até mesmo por você! Para começar esta jornada de entendimento, vamos primeiro tomar uma abordagem visual e geométrica de como surgiu a transformação de Lorentz.
Abordagem Geométrica
Vamos considerar um caso em que um homem está parado na superfície da terra. Acima dele, seu amigo está viajando em um foguete. Vamos supor que a velocidade com que o amigo viaja é v . Agora, o soluço que encontramos quando consideramos a relatividade é que devemos considerar dois quadros de referência. Para o homem na Terra, seu amigo está viajando em relação a ele, enquanto da perspectiva do amigo flutuante, ele está parado enquanto o homem na Terra está se afastando dele.
Isso representa um desafio único, porque, no método newtoniano, consideramos apenas um quadro de referência. Uma vez que ambos os observadores estão certos, da sua perspectiva dada, a única solução é contornar o problema de tal forma que os fundimos e incluamos ambos os quadros de referência nos nossos cálculos. Isso pode ser feito usando um belo conceito matemático conhecido como diagrama de Minkowski ou diagrama de espaço-tempo .
Eixo cinza indicando a estrutura do homem; Eixo vermelho indicando a estrutura do foguete
O diagrama de Minkowski, como visto acima, leva os dois observadores em consideração. O eixo vermelho atua como o referencial do amigo no foguete, enquanto o eixo cinza atua como referencial para o homem. Isso é diferente da descrição newtoniana do movimento, que leva apenas um quadro de referência em consideração. O diagrama de Minkowski mostra claramente que espaço e tempo têm propriedades exclusivas para diferentes usuários, e as coordenadas para um observador em movimento são traduzidas de maneira diferente. Agora, o que os dois eixos denotam? O eixo x representa a distância no espaço e o eixo ct indica a distância percorrida pela luz em uma unidade de tempo. Juntos, isso forma o que é conhecido como o continuum espaço-tempo.
No gráfico acima, você notará que o gráfico do homem e do amigo está inclinado em um ângulo. Esse ângulo que distorce as respectivas coordenadas é conhecido como a relatividade da simultaneidade . Embora o termo possa parecer complexo, a maneira como ele é obtido é bastante simples. Para obter a relatividade da simultaneidade, dividimos a velocidade relativa do amigo com a velocidade da luz e tomamos uma tangente inversa da fração. A equação é escrita como:
Tan -1 (v / c)
Quando olhamos para a equação acima, percebemos que, quanto mais a velocidade do amigo aumenta, tendendo à velocidade da luz, mais estreitas suas coordenadas gráficas se tornam. Agora, para responder à pergunta de milhões de dólares … Se tivermos as coordenadas para ambos os observadores, como marcamos as coordenadas para o mesmo evento para dois quadros de referência diferentes no espaço-tempo? Isso pode ser feito facilmente desenhando primeiro linhas perpendiculares do evento ao eixo x e ao eixo ct (anos-luz) do referencial do homem, fornecendo as coordenadas x e ct. Após isso ser feito para o amigo, desenhamos linhas paralelas ao seu respectivo eixo. Onde essas linhas se cruzam será x ‘ e ct’.
Tudo o que fizemos foi ter uma abordagem geométrica e visual, mas a transformação de Lorentz nos ajudaria a encontrar as coordenadas dos amigos com muito mais facilidade, usando algumas expressões algébricas belas e intuitivas.
Abordagem Algébrica
A transformação de Lorentz tem uma abordagem muito direta; ele converte um conjunto de coordenadas de um quadro de referência para outro. Neste, vamos tentar converter (x, ct) para (x ‘, ct’). Para a conversão, precisaremos conhecer um fator crucial – o Fator de Lorentz . O fator Lorentz é derivado da seguinte fórmula:
A equação acima também pode ser escrita como: 
Aqui, beta é a razão entre a velocidade relativa do observador e a velocidade da luz. As equações resultantes são conhecidas como o impulso de Lorentz .
As equações acima não servem apenas como estrutura matemática para o funcionamento da teoria da relatividade especial, mas também desempenharam um papel integral (sem trocadilhos) na solução inovadora para a questão do paradoxo dos gêmeos!
