Quais são os números imaginários? Por que eles são tão importantes?

Números imaginários ? Como se os números que já possuímos não fossem suficientes. O comentário sobre a dificuldade da matemática tornou-se uma plausibilidade. Todos estamos conscientes de que alguma proporção de todos os alunos do ensino médio estão aterrorizados com a linguagem ininteligível com a qual seus livros de matemática são rabiscados, como os lentes vitorianos que encontraram Ulysses pela primeira vez.No entanto, ao invés de experimentar alívio, seu terror só é exacerbado quando a virada de uma fina página marcando o fim de outro capítulo árduo os introduziu em uma dimensão inteiramente nova de números – números imaginários. Eventualmente, a introdução de números imaginários abriu os olhos para um ramo de matemática totalmente novo, outro das linguagens absurdas da natureza – matemática complexa. Por que eles são tão importantes se eles nem são reais?

Números “Impossíveis”: quais são os números imaginários?

Se o número 1 for a unidade ou identidade de números reais, de modo que cada número possa ser escrito como esse número multiplicado por 1, então os números imaginários são números reais multiplicados pela identidade ou unidade imaginária “‘.

A unidade imaginária representa uma maneira inteligente em torno de um bloqueio matemático. Considere a equação quadrática simples . O valor de para o qual a soma torna-se zero deve ser um número cujo quadrado é -1. Mas isso é impossível! Os quadrados de todos os números reais, positivos ou negativos, só podem ser números positivos. Em outras palavras, o problema não tem solução de número real.

Mesmo assim, vamos resolver por  de qualquer forma. A solução acaba por ser . Existe o bloqueio rodoviário – números negativos não possuem uma raiz quadrada legítima. Esta unidade indivisível é denotado por , de modo que a solução para a equação dada se torne. Todos os números multiplicados por esta unidade passaram a ser conhecidos como números imaginários. A unidade pode ser utilizada para derivar as soluções para outras equações quadráticas semelhantes. Considerar. Aqui, acaba por ser , que pode ser escrito como .

Testemunhando isso, impossível é a primeira palavra que apareceria na mente de alguém. A raiz quadrada dos números negativos é altamente contra-intuitiva, mas também foram números negativos quando foram introduzidos pela primeira vez. Mesmo Euler foi confundido por eles. Então, não se preocupe se você não pode envolver sua cabeça em torno de números imaginários; Inicialmente, mesmo os matemáticos mais brilhantes não podiam.

A incredulidade resulta, obviamente, da negação do conforto da certeza que encontramos nos rituais aos quais estamos indelévelmente acostumados. Imagine o espanto dos romanos quando eles foram apresentados aos números Base-10. Ou, os números infinitos entre eles. Se zero, ou um símbolo, um “algo” para descrever “nada” não era suficiente, o conceito de números negativos foi introduzido – números que representam uma quantidade menor do que nada . Este foi o pior pesadelo dos romanos. Apesar do seu horror, precisávamos desses novos sistemas … todos eles.

A existência de equações insolúveis em um único sistema é bastante comum. Com apenas números naturais, seria insolúvel, a menos que introdujamos números inteiros. Agora, apesar do conhecimento de números naturais e inteiros, a equação  seria insolúvel sem apresentar números racionais. A equação seria insolúvel sem números irracionais. E finalmente, seria insolúvel sem números imaginários.

Pode-se supor que os números imaginários surgiram de nossa necessidade de resolver equações quadráticas, mas a existência deles foi realmente sugerida por uma equação cúbica. Um dos problemas mais antigos e mais populares que os envolveu foi ” Divisar 10 em duas partes, cujo produto é de 40 “. Isso foi resolvido por Girolamo Cardano, que dividiu 10 em duas partes iguais de 5. Ele quadrou-os (25) e subiu 40 dele, o que o deixou com -15. Ele concluiu que a raiz quadrada de -15 adicionada ou subtraída de 5 dá duas partes, cujo produto é 40.

Não faz sentido? Isso seria muito mais fácil de entender se as operações fossem escritas dessa maneira:. Um cálculo rápido transmutaria esse produto para uma simples subtração: 

Agora, porque  (para simplificar, vamos ignorar a outra raiz: ) a operação se torna uma soma:

Quais são números complexos?

Posteriormente, em 1572, o matemático Rafael Bombelli publicou seu tratado de álgebra, que expôs a natureza dos números imaginários em detalhes esplêndidos. Isso o tornou uma figura central na compreensão de números complexos. Os números complexos são uma combinação de números reais e imaginários. Um número complexo Z é a soma ou subtração de um número real A e um número imaginário Bi , tal que .

Apesar desse trabalho de gênio, o livro de Bombelli foi mal visto. Os números eram duvidosos – ou mesmo inúteis – por seus pares. Descartes se referiu a eles como imaginários em um tom que se aproximava do ridículo. Os números aumentaram a aceitação quando Euler e Gauss começaram a recrutá-los em seu trabalho. Outros matemáticos gradualmente alcançaram e perceberam quão imensamente importantes eles eram, que esses números preenchessem um vazio vazio no assunto. No entanto, o insulto de Descartes ficou preso, e continuamos a nos referir a eles como imaginários até hoje.

De certa forma, cada número parece fictício. Este é o argumento central no debate sobre se a matemática foi descoberta ou inventada. Os romanos inventaram seu sistema para contar coisas inteiras e contabilizáveis , de modo a manter a conta do número de elefantes que perderam em uma guerra. O processo pode ser traduzido para: “Vamos representar este conjunto exclusivo de elefantes com este símbolo. A introdução de um novo elefante transformará este conjunto em um conjunto novo, diferente e exclusivo que pode ser representado por outro símbolo e assim por diante “.

Nesse caso, o que os números negativos implicam? Pode-se dizer que um número negativo é uma maneira altamente conveniente para limitar a dívida. Sem números negativos, a quantificação da dívida teria sido extremamente difícil. Da mesma forma, números complexos representam rotação. Isso os torna ubíquos em ramos da física que envolvem vetores e ondas, como as leis do eletromagnetismo e a Transformada de Fourier, uma ferramenta indispensável que usamos para analisar a música.

A nova dimensão que mencionei no prelúdio é real. Existe um avião exclusivamente dedicado a traçar números complexos conhecidos como o plano complexo. Para entender o que quis dizer por rotação, vamos entrar nessa nova dimensão. Um plano complexo é um plano 2D no qual os números reais são plotados no eixo horizontal, conhecido como o eixo real, e os números complexos são plotados no eixo vertical, conhecido como o eixo imaginário.

Um padrão peculiar pode ser observado cada vez que multiplicamos um número real com . Graficamente, o produtorepresenta uma rotação no sentido anti-horário de um vetor de tamanho  por 90º cada vez  é multiplicado para ele. Se assumirmos o valor de para ser 1, apenas 4 vetores emergem repetidamente:  e ; um quarto de círculo, um semicírculo, um círculo de três quartos e um círculo completo.

No entanto, se rotem este vetor, digamos, apenas 45º , o vetor resultante ficaria no meio dos dois eixos; A área que ele varre representa uma pequena parte – neste caso, exatamente um oitavo de um círculo. Uma  linha 45º implica a equivalência de coordenadas ou, como é popularmente conhecido, a linha. Se uma dessas coordenadas for (A, B): (1,1), então pode-se concluir que o vetor desenhado representa o número complexo.

O mesmo vetor também pode ser representado como uma soma vetorial de seus componentes horizontais e verticais – . Aqui, é a hipotenusa de um triângulo formado pelo vetor e seus componentes perpendiculares e  é o ângulo que o vetor faz com o eixo horizontal. O móduloO valor de s é a soma pitagórica dos dois componentes. Esta propriedade liga trigonometria e números complexos em uma relação conjugal, tornando-os totalmente inseparáveis.

Não é de admirar que eles sejam tão onipresentes na teoria da eletrônica e das ondas. Esta característica ilustra como a rotação está profundamente enraizada em números complexos. Isso facilita a resolução eficiente de problemas, problemas que dizem respeito a rotação, problemas que teriam sido problemáticos ou tediosos quando abordados com matemática convencional – acessíveis, mas ineficientes. No entanto, pessoalmente, sua conquista mais louvável continua sendo seu envolvimento direto na formação de uma das mais belas estruturas em matemática abstrata, uma das mais belas frases escritas nas línguas da natureza.

A curva desenhada em um plano complexo, conhecido como o conjunto de Mandelbrot, parece um enorme jardim que compreende uma longa trilha não linear de coníferas infinitas e flores em espiral. É absurdo que o simples ato de simplesmente traçar coordenadas pode levar a uma maravilha tão estética. É um prazer visual para os artistas da Mandala, um verdadeiro testemunho de esplendor e detalhes. E lembre-se, tudo isso veio de números imaginários . A matemática nunca deixa de me surpreender.

Referências:

1. KhanAcademy.org
2. Universidade de Rhode Island
3. Universidade Lamar
4. Universidade de Toronto